지적여정 #6. 혼합비, 그리고 비습

‘지적여정’ 시리즈는 필자가 고등학교 수업 시간에 떠올린 의문점 등에 대하여 자체적인 자료 조사나 연구를 통하여 그 답을 찾고, 기록해두기 위해 기획되었습니다.

질문

혼합비와 비습이란 무엇이고, 도대체 그들 각각을 구하는 공식과 상관관계에 해당하는 다음의 수식들은 어떻게 유도된 것일까?

혼합비: $w = {{\rho_{w}} \over {\rho_{d}}} = 0.622 {{e} \over {p-e}}$
비습: $q = {{\rho_{w}} \over {\rho_{w} + \rho_{d}}} = 0.622 {{e} \over {p}}$

혼합비-비습의 관계: $q = {{w} \over {1+w}}$

황수민 선생님. 고급지구과학 실험 <대기 열역학> 수업 중 떠오른 질문

대답

우선 혼합비와 비습의 정의부터 살펴보자.

혼합비

건조대기 1kg과 공존하는 수증기의 질량(g)을 그 공기의 혼합비라 한다.

보통 수식적 표기에서 혼합비는 $w$로 표기되는데, 정의에 의하여 다음의 수식으로 표시될 수 있다.

$w = {{m_{w}} \over {m_{d}}}$

($m_{w}$는 그 공기에 포함된 수증기의 질량, $m_{d}$는 그 공기에서 수증기를 제한 나머지 건조 공기의 질량)

한 편, 위 수식은 이 공기의 부피 $V$에 대하여 다음과 같이 변형할 수도 있다.

$w = {{m_{w}} \over {m_{d}}} = {{m_{w} / V} \over {m_{d} / V}} = {{\rho_{w}} \over {\rho_{d}}}$

비습

전체(습윤) 공기 1kg에 포함되어 있는 수증기의 질량(g)을 그 공기의 비습이라 한다.

보통 수식적 표기에서 비습은 $q$로 표시되며, 이는 정의에 의하여 다음의 수식으로 기술할 수 있다.

$q = {{m_{w}} \over {m_{w} + m_{d}}}$

($m_{w}$는 그 공기에 포함된 수증기의 질량, $m_{d}$는 그 공기에서 수증기를 제한 나머지 건조 공기의 질량)

한 편, 위 수식은 이 공기의 부피 $V$에 대하여 다음과 같이 변형할 수도 있다.

$w = {{m_{w}} \over {m_{w} + m_{d}}} = {{m_{w} / V} \over {(m_{w} / V) + (m_{d} / V)}} = {{\rho_{w}} \over {\rho_{w} + \rho_{d}}}$

혼합비, 비습의 관계

상기 정의에서 살펴본 바에 의하면 혼합비와 비습의 정의는 어떤 공기에 포함된 수증기의 밀도 $\rho_{w}$와 수증기를 제한 나머지 건조 공기의 밀도 $\rho_{d}$에 대하여 다음과 같다.

혼합비: $w = {{\rho_{w}} \over {\rho_{d}}}$

비습: $q = {{\rho_{w}} \over {\rho_{w} + \rho_{d}}}$

이 때, 비습의 정의식에서 우변 분모, 분자를 $\rho_{d}$로 나누자.

$q = {{\rho_{w}} \over {\rho_{w} + \rho_{d}}} = {{\rho_{w} / \rho_{d}} \over {(\rho_{w} / \rho_{d}) + 1}} = {{w} \over {w+1}}$

따라서 어떤 공기의 비습 $q$와 혼합비 $w$ 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

$q = {{w} \over {w+1}}$

공기의 기압, 수증기압 그리고 혼합비와 비습

대기역학의 이상기체 상태방정식

대기역학의 경우는 기체 1mol에 대한 관심을 가지지 않고, 1kg, 즉 단위 질량에 해당하는 기체에 대해 관심을 가진다. 일반적으로 우리가 알고 있는 화학에서의 이상기체 상태방정식은 기체 1mol을 기술하는 것이므로, 우선 이를 1kg의 기체에 대한 기술로 바꾸도록 하자.

이상기체 상태방정식에 의하면, 기압 $P$, 부피 $V$, 몰 수 $n$, 온도 $T$인 어떤 이상기체는 보편기체상수 $R^*$ ($R^{*} \approx 8.314 {{J} \over {mol K}}$)에 대하여, 다음을 만족한다.

$PV = nR^{*}T$

1mol의 이상기체는 분자량의 정의에 의하면 그 기체의 분자량에 해당하는 질량을 가진다. 따라서, 어떤 기체의 몰 수 $n$은 기체의 총 질량 $m$과 기체의 분자량(몰질량) $M_{w}$에 대하여 다음과 같이 기술된다.

$n = {{m} \over {M_{w}}}$

대기과학에서, 어떤 기체의 기체상수 $R$은 보편기체상수 $R^{*}$을 기체의 분자량(몰질량) $M_{w}$로 나눈 것으로 정의된다. 이를 위의 이상기체 상태방정식에 대입하여 정리하면,

$PV = {{m} \over {M_{w}}} R^{*}T = m {{R^*} \over {M_{w}}} T = mRT$

이 때, 우변의 질량 $m$을 좌변으로 이항하면 $V \over m$의 항이 등장하는데, 이는 이 기체의 밀도의 역수로, 비적이라고 정의하고 기호 $\alpha$로 표기한다. 이 비적을 이용하거나, 혹은 부피 $V$를 우변으로 이항하여 밀도 $\rho$를 이용해 결과적으로 이상기체 상태방정식을 질량에 대한 기술로 정리하면 다음의 두 가지 형태를 얻을 수 있다.

1) 비적 표현: $P \alpha = RT$

2) 밀도 표현: $P = \rho RT$

기압, 수증기압과 혼합비

전체 기압(수증기와 그 외의 기체를 모두 포함한 기압)이 $p$이고 수증기압이 $e$인 어떤 공기를 생각하자. 이들 정보만으로 이 기체의 혼합비 $w$를 구해내도록 해보자. 대기역학의 이상기체 상태방정식을 이용하면 전체 기압과 수증기압으로부터 전체 공기와 수증기의 밀도를 추산할 수 있다.

1. 건조 공기에 대한 이상기체 상태 방정식(수증기 제외)

$p – e = \rho_{d} R_{d}T$ ($R_{d}$는 평균적인 건조 공기에 대한 기체 상수, $R_{d} \approx 287 {{J} \over {kg K}}$)

2. 수증기에 대한 이상기체 상태 방정식

$p = \rho_{w} R_{w}T$ ($R_{w}$는 수증기에 대한 기체 상수, $R_{w} \approx 461 {{J} \over {kg K}}$)

이 때 각각으로부터 건조 공기의 밀도 $\rho_{d}$와 수증기의 밀도 $\rho_{w}$를 다음과 같이 찾을 수 있다.

$\rho_{d} = {{p – e} \over {R_{d} T}}$

$\rho_{w} = {{e} \over {R_{w} T}}$

이를 혼합비의 정의식에 적용하여 계산하면, 다음의 결론을 얻는다.

$w = {{\rho_{w}} \over {\rho_{d}}} = {{(e) / (R_{w} T)} \over {(p – e) / (R_{d} T)}} = {{R_{d}} \over {R_{w}}} {{e} \over {p – e}} \approx {{287 J/kg K} \over {461 J/kg K}} {{e} \over {p – e}} \approx 0.622 {{e} \over {p – e}}$

이 때 상기 $w \approx 0.622 {{e} \over {p – e}}$의 경우는 건조 공기 1kg에 대한 수증기의 kg 수를 구한 셈이 되므로, 실제 대기과학에서 사용하는 혼합비의 정의에 맞추어주기 위해서는 이것에 1000을 곱하여야 한다. ($\because 1kg = 1000g$)

따라서, 어떤 공기의 전체 기압 $p$, 수증기압 $e$가 주어져 있을 때, 이 공기의 혼합비 $w$는,

$w \approx 622 {{e} \over {p – e}}$

기압, 수증기압과 비습

전체 기압(수증기와 그 외의 기체를 모두 포함한 기압)이 $p$이고 수증기압이 $e$인 어떤 공기를 생각하자. 이들 정보만으로 이 기체의 비습 $q$를 구해내도록 해보자.

기압, 수증기압과 혼합비에 관한 논의에서 건조 공기의 밀도 $\rho_{d}$와 수증기의 밀도 $\rho_{w}$는 이 경우 다음과 같이 됨을 보였다.

$\rho_{d} = {{p – e} \over {R_{d} T}}$

$\rho_{w} = {{e} \over {R_{w} T}}$

여기에 추가적으로, 전체 공기, 즉 수증기와 건조 공기가 혼합되어 있는 경우에 대하여 대기과학의 이상기체 상태방정식을 적용하자. 그러면 전체 공기의 밀도 $\rho_{mix}$를 추산할 수 있다.

$p = \rho_{mix} R_{mix} T$ ($R_{mix}$는 전체 공기에 대한 기체 상수)

$\therefore \rho_{mix} = {{p} \over {R_{mix} T}}$

전체 공기의 질량 $m$과 수증기, 건조 공기의 질량 $m_{w}$, $m_{d}$에 대하여, $m = m_{w} + m_{d}$이므로 양변을 공기의 부피 $V$로 나누면 $\rho_{mix} = \rho_{w} + \rho_{d}$이다. 이를 비습의 정의식에 적용하여 계산하면, 다음의 결론을 얻는다.

$q = {{\rho_{w}} \over {\rho_{w} + \rho_{d}}} = {{\rho_{w}} \over {\rho_{mix}}} = {{(e) / (R_{w} T)} \over {(p) / (R_{mix} T)}} = {{R_{mix}} \over {R_{w}}} {{e} \over {p – e}}$

이 때, 전체 공기 중 수증기가 차지하는 질량비는 매우 작다. 지구 전체 대기의 구성비를 보면, 산소와 질소가 전체의 99% 이상을 차지한다. 따라서, 전체 공기에 대한 기체 상수 $R_{mix}$는 거의 건조 공기에 대한 기체 상수 $R_{d}$와 같다. ($R_{mix} \approx R_{d}$)

이를 적용하면 다음과 같은 비습, 전체 기압, 수증기압 간의 관계를 유도할 수 있다.

$q = {{R_{mix}} \over {R_{w}}} {{e} \over {p}} \approx {{R_{d}} \over {R_{w}}} {{e} \over {p}} \approx {{287 J/kg K} \over {461 J/kg K}} {{e} \over {p}} \approx 0.622 {{e} \over {p}}$

이 때 상기 $q \approx 0.622 {{e} \over {p}}$의 경우에도 마찬가지로 혼합 공기 1kg에 대한 수증기의 kg 수를 구한 셈이 되므로, 실제 대기과학에서 사용하는 비습의 정의에 맞추어주기 위해서는 이것에 1000을 곱하여야 한다. ($\because 1kg = 1000g$)

따라서, 어떤 공기의 전체 기압 $p$, 수증기압 $e$가 주어져 있을 때, 이 공기의 비습 $q$는,

$q \approx 622 {{e} \over {p}}$

결론

1. 혼합비, 비습이란 무엇인가?

혼합비는 건조공기 1kg과 공존하고 있는 수증기의 g수를, 비습은 전체(혼합)공기 1kg과 공존하고 있는 수증기의 g수를 나타내는 비율이다.

2. 혼합비, 비습과 전체 기압 및 수증기압 사이의 상관관계는 어떻게 유도되었는가?

혼합비와 비습의 정의, 그리고 대기과학의 이상기체 상태방정식으로부터 구해진 건조 공기와 수증기의 밀도로부터 이들의 상관관계가 유도되었다.

3. 혼합비와 비습 사이의 상관관계는 어떻게 유도되었는가?

혼합비와 비습의 정의로부터, 비습의 분모, 분자를 건조 공기의 밀도 $\rho_{d}$로 나누면 혼합비의 정의에 부합하는 항의 등장으로 그 상관관계가 유도되었다.

참고 자료

• 네이버 블로그: NOZ의 꿈꾸는 나무, ‘[대기] 습도의 종류’ – https://m.blog.naver.com/tnehf18/220473011254, 2020-09-20 확인.
• 과학문화포털 사이언스올: 과학백과사전, ‘혼합비(mixing ratio)’ – https://www.scienceall.com/%ED%98%BC%ED%95%A9%EB%B9%84mixing-ratio/, 2020-09-20 확인.
• 과학문화포털 사이언스올: 과학백과사전, ‘비습(specific humidity)’ – https://www.scienceall.com/%EB%B9%84%EC%8A%B5specific-humidity/, 2020-09-20 확인.