Introduction to Climatology 정리 #2. 지배 방정식 (Governing Equation)

#1. 대기과학에서의 5개 지배 방정식을 쓰고, 그 의미를 설명하면?

#1-1. Momentum Conservation Equation (운동량 보존 방정식)

• $x$ 방향: ${{du}\over{dt}} = – {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dx}} + f v – F_{x}$
• $y$ 방향: ${{dv}\over{dt}} = – {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dy}} – f u – F_{y}$
• $z$ 방향: ${{dw}\over{dt}} = – {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dz}} – g$

상기 x, y, z 방향 Momentum Conservation Equation에서 z방향의 경우 코리올리 힘과 마찰력을 거의 무시할 수 있기 때문에 항을 별도로 표시하지는 않았다.

#1-2. Mass Conservation Equation (질량 보존 방정식)

• ${{du} \over {dt}} + {{dv} \over {dt}} + {{d\omega} \over {dP}} = 0$
• Omega의 정의: $\omega = – \rho g w$

상기 정의에서 Omega($\omega$)는 연직 대기 흐름의 속도(연직 바람 세기) $w$와 부호가 반대인 점에 유의해야 한다. 즉, Omega가 음수이면 상승 기류, Omega가 양수이면 하강 기류가 존재한다는 뜻이다.

#1-3. Ideal Gas Law Equation (이상 기체 상태 방정식)

• $P = \rho R_{d} T_{v}$
• $T_{v} = T(1 + 0.67 q_{v})$ (가온도, 대기 중에 들어있는 수증기를 강제로 건조 공기로 교환하는 경우 그 상응 기온)

#1-4. Energy Equation (에너지 방정식)

• $C_{p} {{dT} \over {dt}} = {{dQ} \over {dt}} + {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dt}}$
• $C_{p}$는 건조 공기에 대한 정압 비열로, 정압 과정에서 건조 공기 1kg을 1K 올리는 데 필요한 열량. 약 1004 J / kg K이다.

#1-5. Tracer Equation (추적 방정식)

• 어떤 대기 중에서의 추적하고픈 물리량 $q$에 대하여,
• ${{dq} \over {dt}} = Source – Sink + Transport = – \nabla{q} \cdot \vec{v} + S_{q}$

#2. 정역학 근사란 무엇인가? 정역학 방정식은 어떻게 유도할 수 있는가?

일반적으로 대기의 연직 움직임은 대기의 수평 움직임에 비해 아주 느리다. 따라서 Momentum Conservation Equation의 z 방향 움직임에서, ${{dw} \over {dt}} \approx 0$의 근사를 적용할 수 있다. 이 경우, $0 = – {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dz}} – g$에서 변수 분리 후 양변을 어떤 기압이 P인 고도 z로부터 기압이 0으로 생각되는 고도 무한대까지 적분하면 다음과 같은 정역학 방정식을 얻을 수 있다.

$P = – \rho g \int_{z}^{\inf} {dz}$

#3. 정역학 방정식을 사용하면 기압을 다른 관점에서 이해할 수 있다. 어떻게 이해 가능한가?

기압은 그 고도에서 대기 최상부까지의 단위면적 대기기둥이 작용하는 무게, 즉 힘으로 이해 가능하다. 이를 이용하면 고도가 상승하면 자연스럽게 기압이 감소하는 이유를 설명할 수 있다. 고도가 높아질수록 그 고도 위쪽의 단위면적 대기기둥이 작용하는 무게가 감소하기 때문에 기압이 감소하는 것이다.

#4. 혼합 공기와 건조 공기 중 어떤 공기가 더 밀도가 작은가? 그 이유는 무엇인가?

일반적으로 혼합 공기가 건조 공기보다 밀도가 더 작다. 즉, 혼합 공기와 건조 공기가 섞이지 않는다고 가정한 채로 둘을 같은 공간, 같은 고도에 둔다면 건조 공기가 아래로 가라앉고 혼합 공기가 위로 상승한다.

이는 건조 공기의 몰 질량과 수증기의 몰 질량을 비교하여 확인할 수 있다. 건조 공기가 대략 80%의 질소와 20%의 산소로 이루어졌다고 가정하면, 질소($N_2$)의 몰 질량은 28 g/mol이고, 산소($O_2$)의 몰 질량은 32 g/mol이다. 따라서 건조 공기의 몰 질량을 계산하면 $M_{dry-air} = (0.8)(28 g/mol) + (0.2)(32 g/mol) = 28.8 g/mol$이다. 그런데 수증기($H_{2}O$)의 경우 그 몰 질량은 18 g/mol이므로, 수증기의 몰 질량이 건조 공기의 몰 질량보다 적다. 이는, 동일 몰 수의 이상 기체는 동일 온도와 압력 조건에서 동일 부피를 차지한다는 아보가드로 법칙과 몰 질량의 정의는 해당 기체 1mol 당 질량이라는 점을 고려할 때, 수증기의 밀도가 건조 공기의 밀도보다 낮음을 지시한다. 혼합 공기는 수증기와 건조 공기가 혼합된 공기로 이해할 수 있고, 당연히 수증기의 함량비가 높을 수록 해당 기체의 1mol 당 질량은 감소하므로 혼합 기체의 밀도는 감소한다.

즉, 기체는 다습해질수록 그 밀도가 감소한다. 혼합 공기가 건조 공기보다 밀도가 당연히 작다.

#5. 기온에 따라 등압고도의 변화를 흔히 Hypsometric Equation으로 계산할 수 있다고 한다. 이는 기온에 따른 두 기압고도 사이의 층후(Thickness)를 계산하는데 유용한데, 이는 무엇이며 어떻게 유도 가능한가?

• Hypsometric Equation은 이상 기체 상태 방정식과 정역학 방정식을 연립하여 유도할 수 있으며, 다음과 같다: $\Delta z = {{R_{d} \bar{T_{v}}} \over g} \ln({{P_{high}} \over {P_{low}}})$

#6. 흔히 열대류 순환, 즉 지표의 국지 가열과 냉각에 의하여 지표에 고기압과 저기압이 유도되는 과정, 다르게 말하면 기온에 따른 지상 기압계의 변동을 Hypsometric Equation 등으로 이해 가능하다. 이를 설명하면 어떤가?

1. 지표에서 어떤 특정 지역이 태양복사선속밀도가 높은 등의 요인을 통해 국지적으로 가열되었다고 하자.
2. Hypsometric Equation에 의하여 가열역의 어떤 두 기압고도 사이의 층후가 증가한다.
3. 이 때문에 가열역의 상층의 경우 상대적으로 고기압이 되고, 비가열역 또는 냉각역의 상층의 경우 상대적으로 저기압이 된다.
4. 따라서 기압경도력의 작용으로 인해 상층에서 가열역 상층에서부터 비가열역 상층으로의 대기 이동이 발생한다.
5. 이 대기 이동 때문에 가열역 지상은 단위면적 대기기둥의 무게가 감소하여 지상 저기압이 유도된다.
6. 이 대기 이동 때문에 비가열역 지상은 단위면적 대기기둥의 무게가 증가하여 지상 고기압이 유도된다.
7. 지상에서는 비가열역 지상이 고기압, 가열역 지상이 저기압이 되므로 비가열역 지상에서 가열역 지상으로의 기압 경도력이 작용하고 대기 이동이 유발된다.
8. 가열역 지상에서는 대기가 수렴하므로 Mass Conservation Equation에 의해 상승 기류가 형성된다.
9. 비가열역 지상에서는 대기가 발산하므로 Mass Conservation Equation에 의해 하강 기류가 형성된다.
10. 가열역 상층에서는 상승 기류가 도달하므로 대기가 발산한다.
11. 비가열역 상층에서는 하강 기류가 발달하므로 대기가 수렴한다.
12. 가열역의 상승 기류는 Energy Equation에 의하여 단열 팽창이 일어나 대기의 온도가 감소한다.
13. 비가열역의 하강 기류는 Energy Equation에 의하여 단열 압축이 일어나 대기의 온도가 증가한다.
14. 가열역의 상승 기류에 따른 단열 팽창으로 대기의 온도가 감소하면, 대기의 상대 습도의 분모항인 포화수증기량이 감소하며, 일반적으로 상승 기류에서 대기의 비습은 유지되기 때문에 상대 습도가 상승하다가 100%에 도달하여 대기가 포화된다.
15. 가열역에서는 구름이 형성되고 강수가 내릴 수 있다.

#7. 해륙풍도 Hypsometric Equation에 의하여 이해할 수 있다. 이를 간략하게 설명하면?

주간의 해풍은 위 열 대류 순환의 설명에서 가열역을 비열이 상대적으로 낮은 육지로, 비가열역을 비열이 상대적으로 높은 바다로 설정하여 이해할 수 있으며, 야간의 육풍은 위 열 대류 순환의 설명에서 가열역을 비열이 상대적으로 높은 해양으로 (천천히 식음), 냉각역을 비열이 상대적으로 낮은 육지로 (빠르게 복사 냉각으로 냉각됨) 설정하여 이해할 수 있다.

#8. 산곡풍 중에서 산풍은 어떻게 이해 가능한가? 야간에 부는 산풍은 흔히 중력풍이라고도 부르는데, 이는 어떻게 이해 가능한가?

1. 평시 산의 중턱에서 어떤 대기는 연직 방향의 기압 경도력과 중력의 힘의 평형을 이루고 있다고 생각할 수 있다. $- {{1} \over {\rho}} {{dP} \over {dz}} = g$
2. 그런데 야간이 되면 산 정상부가 곡부에 비하여 빠르게 복사 냉각이 된다. 이는 산 정상부는 식생이 상대적으로 적으며, 또 고도가 높은 탓에 수증기가 상대적으로 적어 구름이 형성될 수 없고 Blanket Effect를 누릴 수 없기 때문이다. 이 때문에 산 정상부의 기온이 더 빠르게 낮아져, Hypsometric Equation에서 층후가 감소, 즉 등기압고도선 사이의 간격은 산 정상부가 감소하지만, 곡부는 증가한다.
3. 이 때문에 상대적으로 중력에 비하여 산의 중턱에서의 연직 상향 방향의 기압 경도력의 세기가 약해지므로, 산 중턱의 공기는 아래쪽으로 가속된다. 이것이 산풍이며, 중력에 의하여 아래로 이끌리는 셈이므로 중력풍이라고도 한다.